Áreas

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.
Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.
A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Exemplos
A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?
Do enunciado temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste triângulo é 12,25 cm2.

Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?
Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula:

A área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm2.

Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.
Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:


Exemplos
A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono?
Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula:

A área deste polígono é 7,8 dm2.

Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?
Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:

Substituindo na fórmula:

A medida da área deste paralelogramo é 200 cm2 ou 2 dm2.

Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.
Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.
Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.

Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.
Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula:


Exemplos
As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?
Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

Utilizando na fórmula temos:

A medida da superfície deste losango é de 75 cm2

Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?
Neste caso, para o cálculo da área utilizaremos a fórmula do paralelogramo, onde utilizamos a base e a altura da figura geométrica, cujos valores temos abaixo:

Segundo a fórmula temos:

A medida da área do losango é de 108 cm2.

Cálculo da Área do Quadrado
Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.
O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.
Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:

Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo:


Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:

Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:


Exemplos
A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta tampa?
Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:

Substituindo na fórmula temos:

Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm2.

A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?
Como o lado mede 20 cm, temos:

Substituindo na fórmula temos:

A área do quadrado é de 400 cm2.

A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?
Temos que S é igual a 196.

Utilizando a fórmula temos:

Como a medida do lado não pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede 14 cm.



Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.
Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.
Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.
Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:


Exemplos
Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?
Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste terreno é de 125 m2.

A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?
Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:

Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:

Portanto a área da tampa da caixa de sapatos é de 450 cm2.



Cálculo da Área do Círculo

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:

Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.
O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:

Onde r representa o raio do círculo.

Exemplos
A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?
Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor:

Substituindo-o na fórmula:

A área da lente da lupa é de 78,54 cm2.

Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?
Do enunciado, temos que o valor do raio r é:

Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:

A superfície do círculo é de 228,05 mm2.

Cálculo da Área de Setores Circulares

O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor.
Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor circular e α o seu número de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.

Exemplos
Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?
Aplicando a fórmula em graus temos:

A área do setor circular é de 37,6992 cm2.

Qual é a superfície de um setor circular com ângulo de 0,5 rad e raio de 8 mm?
Aplicando a fórmula em radianos temos:

A superfície do setor circular é de 16 mm2.

Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:

Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.

Exemplos
Qual é a área de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?
Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na fórmula temos:

A área da coroa circular é de 549,78 cm2.

Qual é a superfície de uma coroa circular com r = 17 e R = 34?
Aplicando a fórmula em temos:

A superfície desta coroa circular é 2723,7672.


Resolução Detalhada do Problema no Começo da Página
Para resolvermos tal problema, primeiramente vamos calcular a área da sala.
Para podermos utilizar a fórmula do cálculo da área de um retângulo, vamos atribuir os 4 m da largura à letra h e os 5,5 m do comprimento à letra b:

Resolvendo através da fórmula:

Agora que sabemos que a sala tem uma área de 22 m2, precisamos conhecer a área do ladrilho.
Como o ladrilho é quadrado, precisamos calcular a área de um quadrado, só que devemos trabalhar em metros e não em centímetros, pois a área da sala foi calculada utilizando-se medidas em metros e não medidas em centímetros. Poderíamos ter convertido as medidas da sala em centímetros, para trabalharmos apenas com centímetros. O importante é que utilizemos sempre a mesma unidade (múltiplo/submúltiplo).
A transformação de 25 cm em metros é realizada dividindo-se tal medida por 100:

Então a medida dos lados dos ladrilhos é de 0,25 m.
Se tiver dúvidas sobre como realizar tal conversão, por favor acesse a página que trata sobre as unidades de medidas, lá você encontrará várias informações sobre este assunto, incluindo vários exemplos e um link para uma calculadora sobre o tema.
Voltando ao problema, como o ladrilho é quadrado, a área do ladrilho com lado l = 0,25 é igual a:

Como dito no começo da página, a resolução do problema se resume ao cálculo da razão entre a área da sala e a área do ladrilho.
Como a sala tem uma área de 22 m2 e o ladrilho de 0,0625 m2, temos a seguinte razão:

Ou seja, para ladrilhar o piso da sala inteira serão necessários ladrilhos 352.

teorema de pitágoras

Pitágoras disse:

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Exemplificando:

a² = b² + c²

Em qualquer triângulo retângulo esta regra se aplica. Lembre-se que triângulos retângulos são triângulos que tenham um ângulo interno medindo 90º .

É possível utilizar a regra de pitároras em praticamente todas as figuras geométricas planas, pois, de alguma forma elas podem ser divididos em triângulos.

ternas pitagóricas

A teoria dos números é a área da matemática que investiga relações profundas e sutis entre os números inteiros positivos. Pitágoras e seus seguidores ligaram tais números à geometria e, dessa forma, iniciou-se uma das vertentes mais bem sucedida da teoria dos números, a saber o binômio: aritmética e geometria. Por volta de 1700 AC foram encontradas, na Babilônia, tabelas contendo listas de ternas de números inteiros com a propriedade de que um dos números quando elevado ao quadrado era igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como tais listas eram extensas, acredita-se que os Babilônios já possuíam um método sistemático de gerar tais ternas. Há registros históricos que comprovam a existência e uso de tais tabelas no Egito antigo.Considere os quadrados dos números naturais 1², 2², 3², 4², 5²,... . Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais famoso desse fato é: 3²+4²=5², mas existem outros exemplos: 5²+12² = 13², 20²+21² = 29², e muitos outros. Contudo 2²+3² =13 não é um quadrado. Portanto, é natural perguntar se existe um número infinito de ternas Pitagóricas. A resposta é afirmativa e o motivo é muito simples: se (x, y, z) é uma terna Pitagórica, então ao multiplicá-la por um inteiro positivo c, obtemos (cx, cy, cz) que é uma nova terna Pitagórica, pois, (cx)²+(cy)²= c²(x²+y²) = c²z² = (cz)². Por outro lado essas ternas não são as mais interessantes e então definimos ternas primitivas, ou seja, aquelas em que a, b, e c não possuem fator comum e satisfazem à relação x²+y² = z².

Por outro lado, os Pitagóricos estavam interessados nos triângulos retângulos cujos catetos têm comprimento inteiro x e y e o comprimento z da hipotenusa se relaciona com x e y de modo que z² = x²+y². Tal relação é o o famoso Teorema de Pitágoras. A procura de todos os inteiros positivos que satisfazem à identidade x²+y²=z² é equivalente ao problema de se determinar todos os triângulos retângulos cujos lados são inteiros.

Os Pitagóricos foram, por volta de 600 AC, os primeiros a dar um método de determinação de infinitas ternas desse tipo, hoje denominadas de ternas Pitagóricas. Utilizando uma notação atual descrevemos o método da seguinte maneira: sejam x = n, y = 1(n²– 1), z = 1 (n² + 1) onde n é um inteiro ímpar maior que 1; então a terna resultante (x, y, z) é uma terna Pitagórica onde z = y + 1. Observe alguns exemplos: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61². Observe que existem outras ternas além dessas: por exemplo, quando z = y + 2, ou seja, 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101². O filósofo Platão (430 – 349 AC) encontrou um outro método para determinar todas essas ternas, que em notação moderna são as fórmulas: x = 4n, y = 4n² – 1, z = 4n² +1. O matemático grego Tales de Mileto provocou uma mudança substancial no conhecimento quando transformou a matemática que até então era praticada como alguma forma de numerologia em uma ciência dedutiva. Por volta de 300 AC, quando Euclides publicou a coleção de 13 livros denominada Elementos, todos os fatos matemáticos apresentados foram demonstrados formalmente. No décimo livro, Euclides deu um método de obtenção de todas as ternas Pitagóricas. Apesar de não apresentar uma demonstração formal do seu método, Euclides obtinha todas as ternas. Utilizando-se a notação atual, o método consiste nas seguintes fórmulas: x = t(a²-b²), y = 2tab, z = t(a²+b²) onde t, a, e b, são inteiros positivos arbitrários tais que a>b, a e b não possuem fatores em comum, e se a é ímpar então b é par e vice-versa. Isso resolve completamente o problema natural de se saber quais são todas as ternas Pitagóricas.

triangulos

Os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Dois ângulos opostos pelo vértice são ângulos que são formados pelas mesmas retas mas não são adjacentes, ou em outras palavras são ângulos em que um é formado pelas semi-retas opostas às semi-retas que formam o outro. Dois angulos são opostos pelo vertice (OPV) quando os lados de um sao semirretas opostas ao lado do outro.Neste desenho α e β são ângulos opostos pelo vértice

Quem foi pitágoras.

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados e informações importantes sobre sua vida.

Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e suspenso no Espaço (idéia pouco conhecida na época). Encontrou uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim como a Terra, girava ao redor do Sol.

Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.

Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente.

graficos de setores

Precisamos agora construir a planilha das porcentagens.

Ótimo = 200/1000 = 0,2 = 20%
Bom = 600/1000 = 0,6 = 60%

Regular = 150/1000 = 0,15 = 15%




então vemos acima como ficou: